Le phénomène avalancheux peut se déclencher sous différentes formes. Ainsi, dans cette seconde partie nous avons réalisé une étude de cas : l'avalanche de plaque, dans l'optique d'approfondir ce mouvement.

A. Les différents types d'avalanches
B. Résultats des expériences
C. Equations horaire du mouvement
D. Frottements
E. Influence de la masse
F. Energie
G. Application numérique : distance d'arrêt
H. Modélisation de l'avalanche

A. Mise en évidence des différents types d'avalanches :

1. Avalanche de neige humide : la coulée

     Elle est caractéristique des périodes de redoux. En effet, comme c'est une avalanche de neige humide elle se produit lorsque la neige se réchauffe ou après qu'il ait plu donc souvent au Printemps.
     Leur trajectoire dépend exclusivement du relief et leur vitesse est de l'ordre de 60 km/h. Cependant, malgré leur faible vitesse, la pression exercée par la coulée est considérable dans la mesure où la densité de la neige est importante à l'instar de la quantité de neige déplacée.

2. Avalanche de poudreuse : l'aérosol

     Une avalanche en aérosol est un écoulement de particules de neige dans l'air. Ainsi, elle ressemble à un gros nuage de neige qui se déplace très rapidement.
     L'aérosol ne naît que lorsque l'écoulement atteint une vitesse assez importante, de l'ordre de 10 m/s (soit 36 km/h) pour une neige poudreuse (donc légère et fine). Ensuite, les structures tourbillonaires qui composent l'aérosol prennent de la vitesse au fur et à mesure de leur évolution pouvant ainsi atteindre des vitesses allant de 30 à 100 m/s (soit de 100 à 360 km/h). Le problème est grave dans la mesure où cette avalanche ne suivant pas le relief elle est très difficile à arrêter, il faut qu'elle ne soit plus alimentée en neige et que la pente diminue.
     Cependant, ce type d'avalanche a beau paraître spectaculaire, les dégâts sont très faibles car l'aérosol exerce une pression de l'ordre de 100 kN/m². L'effet destructeur est dû au souffle donc à l'importance des turbulences (donc de la quantité de neige en suspension et de son étendue).
         Remarque : 1 Pa = 1 N/m²

     Il faut remarquer que l'avalanche de poudreuse est précédée d'une centaine de mètres par le vent de l'avalanche d'une pression de l'ordre de 5 kN/m².

3. Avalanche de plaque

     C'est la plus répandue des avalanches avec 80% des cas. L'écroulement ressemble au glissement d'un solide (voir nos expériences) sur un plan incliné et la vitesse semble uniforme ne subissant que très peu de fluctuations.
     L'étude mécanique de ce type d'avalanche est particulièrement complexe car de nombreux phénomènes sont toujours mal compris. L'écoulement est issu de la rupture d'une strate du manteau neigeux, et suivant la cohésion de la neige à l'intérieur de la couche, la fracture peut se propager sur plusieurs centaines de mètres alors que l'épaisseur de la couche varie de quelques mètres. Ainsi, la quantité de neige déplacée est conséquente et comme la vitesse qui varie selon la pente peut atteindre 30 m/s (soit 100 km/h), si la masse volumique =m/V est importante, la pression d'impact sur un obstacle peut atteindre un pic de l'ordre de 1000 kPa (soit près de 100 t/m²). Elle est donc très destructrice.
     L'arrêt du phénomène est fortement lié à la déclivité, au dessous de 20°, l'avalanche ralentit et s'arrête.
     Nous analyserons ce mouvement dans la partie suivante.

4. Avalanche mixte

     Il existe des avalanches composées d'un écoulement dense sur lequel se développe un aérosol. Cette forme est fréquente lorsque l'avalanche prend de l'ampleur et quand la vitesse est suffisante pour mettre en suspension une partie de la neige du mouvement. Cet hybride peut alors avoir des effets particulièrement destructeurs.

B. Résultats expérimentaux :

 x distance parcourue ; z (sin -x sin ) l'altitude ; Ec (1/2mv²) l'énergie cinétique
 Ep (mgz) l'énergie potentielle  ;  Em (Ep+Ec) l'énergie mécanique

      Expérience 1: angle = 45° ; masse = 500g ; lisse :

Retrouvez tous les résultats de toutes nos expériences avec le fichier excel :

C. Equations horaire du mouvement :

(-f ; 0) , (0 ; mg cos ) et (mg sin ; -mg cos ) 

   D'après la deuxième loi de Newton :
  Dans un référenciel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par l'accélération de son centre d'inertie.
                                             _ext = m_G

   Or dans le cas de notre avalanche considérée comme la chute d'un mobile sur un plan incliné, on a  _ext = ++.
   De plus, si l'on considère le schéma ci-dessus il vient alors trivialement que :
par projection sur G,  m a_G = -f + mg sin          et         a_G = g sin -f/m.
 -f/m représente la décélération dûe aux frottements
  g sin caractérise l'accélération du mobile

   D'après le théorème de l'énergie cinétique :
 Dans un référenciel terrestre galiléen, la variation d'énergie cinétique du mobile entre la position initiale A et la position finale C est égale à la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées.
 Ec_B - Ec_A = W_AB () + W_AB () + W_AB ()
Or on a :
W_AB ()= mg(z_A-z_B)= mg x AB x sin
W_AB ()= 0 car la force est normale au sens de déplacement
W_AB ()= W_AB () = . = -f x AB car travail résistant et angle de 0°
Ec_A = 0 (mobile à l'arrêt au départ) et Ec_B = 1/2 mv²
D'où 1/2 mv² = mg AB sin -f AB   soit   v² = 2 AB(g sin -f/m)
Or (v²)' = 2v v'  ;   =   et   v = d(AB)/dt
Donc 2 v a = [2(g sin - f/m)] x d(AB)/dt              et           a= g sin -f/m .

   Equations différentielles :
 Dans un référenciel donné, le vecteur accélération d'un point mobile M est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse de ce point mobile.
                                                 =        la valeur de a s'exprime en m.s^-2

  On note y'' = a   ;   y' = v     et    y = x
On a alors y'' = K   avec K = g sin -f/m
donc y' = Kt + C    avec C constante
de même, on obtient y = K/2 t² + Ct + D    avec D constante
Or y'(0) = v_i   d'où  C = v_i              et           v = (g sin -f/m)t + v_i
de même, on obtient encore                      x = 1/2 (g sin -f/m)t² + v_i t + x_i

Ci dessous, les courbes de l'expérience 1, en rose les courbes idéales, en jaune la théorie et en bleu la pratique :

x=f(t)

x=f(t²)


v=f(t)

   Il faut tout d'abord noter qu'à la différence des courbes idéales, les courbes pratiques (et théoriques !) mettent en évidence la faible vitesse initiale du mobile que l'on a prise pour diminuer les erreurs de calculs et améliorer la qualité de nos valeurs. 
   Ici, on remarque bien la différence entre le coefficient directeur (accélération) de la courbe théorique (en rose) et de la courbe pratique (en bleu) qui est d'après nos calculs précédents de f/m.

   On peut observer ci-dessous l'accélération théorique (en rose) qui reste constante contrairement à l'accélération pratique qui prend une forme sinusoïdale loin de toute attente ! 

a=f(t)

  On retrouve donc bien les équations vues précédemment.

D. Frottements :

          C'est en raison du frottement (interaction des molécules) que le principe de conservation de l'énergie mécanique n'est pas applicable dans la mesure où l'énergie potentielle ne se transforme pas entièrement en énergie cinétique ou réciproquement.

    Le frottement à sec :
 Il apparaît lors du mouvement d'un corps sur un support mais ne dépend pas de la vitesse du mouvement.

f =  r   avec : coefficient de frottement statique

    Le frottement statique :
 Il apparaît tant que les deux surfaces en contact ne se déplacent pas l'une par rapport à l'autre. Sa valeur est mesurable grâce à un plan incliné d'un angle car   = f/r     d'où     = tan   où  est l'angle maximum avant rupture.
  or  x :--> tan x est continue et strictement croissante sur [0;[ donc le coefficient de frottement statique augmente avec l'inclinaison (du moment que le mobile reste en équilibre !).

 Mise en évidence simple de ce coefficient :

    Le frottement par glissement :
 Il apparaît aussitôt que le frottement statique est vaincu mais sa valeur reste toujours inférieure à celle du frottement statique.

    Le frottement fluide :
 Etant donné la faible vitesse de notre simulation, nous négligerons le frottement de Stokes dû à l'air. De plus la surface qui subit cette action n'est que de 357cm².

    Dispositif expérimental :
        Les valeurs de f ont été obtenues à l'aide d'un dynamomètre suivant le schéma de montage ci-dessous :

photo de l'expérience .

    Résultats :

     Les 4 mesures permettent donc de vérifier l'exactitude de nos coefficients :
on a donc un coefficient de frottement statique ₁ =0,4 pour la surface agglo/PS avec un angle limite de décrochage ₁ =22°  ainsi qu'un coefficient ₂ =0,8 pour la surface agglo_lacéré/PS avec un angle limite de décrochage ₂ =40°.
Pour comparaison, _acier/acier =0,74  ;  _acier/glace =0,027  ;  _acier/verre =0,6
_bois/bois =0,4  ;  _{teflon/teflon} =0,04  ;  _{caoutchouc/asphalte} =0,8-1,1 ...

    Comparaison :
 On sait désormais que = f/r = tan   donc f/m = r tan /m .
Or  r = mg cos      d'où    f/m = g cos .
Ainsi, comme on sait que l'accélération pratique vaut  g sin - f/m , on peut alors retrouver le frottement par glissement '.

 Homogénéité de la formule : a [m/s²] : g [m/s²] ; m [kg] et f [kg.m/s²]  donc les masses se simplifient bien et la formule est homogène.

 Alors, pour l'expérience 1,     g sin - ' g cos = 3,7 (coefficient directeur)
  d'où   ' = tan 45° - 3,7 / (9,81 cos 45°)    soit   ' = 0,46
 Ce résultat est relativement proche du 0,4 mesuré au dynamomètre (15%) bien qu'il eut fallut qu'il lui fusse inférieur !
 Pour expliquer l'erreur, c'est très simple puisque l'on a très clairement annoncé que l'on négligeait le frottement fluide donc le frottement à sec est inférieur à celui calculé à partir du coefficient directeur.

 
E. Influences de la masse, de l'angle et de la rugosité :

1. Masse

   Lors du mouvement, la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur le mobile est caractérisée par la force colinéaire à la pente et dirigée vers le bas.
 Comme on a déjà vu que d'après la deuxième loi de Newton _ext = m_{G ,} alors on peut en déduire que _G = /m soit littéralement : effet = cause/inertie et revient à dire que la masse du mobile à un rôle inertiel et s'oppose à l'évolution du mouvement : l'accélération ou la décélération. Mais celà ne nous renseigne que sur les variations de la vitesse.

   Galilée a démontré par ses études que quelque soit leur masse, les corps en chute libre sont animés du même mouvement. Ainsi, l'exemple de deux skieurs de masse différente (mon père et moi par exemple) avec les mêmes skis et allant à des vitesses différentes (moi plus lentement) ne dépend donc pas de la masse mais plutôt de l'aérodynamisme, des frottements.
  Les deux graphiques ci-dessous montrent bien des courbes parallèles donc des vecteurs vitesse colinéaires.

en rose : v1 avec masse= 500g
en bleu : v2 avec masse= 125g

2. Pente

en jaune : v3=f(t) pour =60°
en rose : v2=f(t) pour =45°
en bleu : v1=f(t) pour =30°

  En observant les coefficients directeurs, on peut en déduire que la vitesse est une fonction croissante de la pente !

3. Rugosité

en bleu : v1=f(t) avec =0,4 (lisse)
en rose : v2=f(t) avec =0,8 (rugueux)
On peut remarquer que a1>a2 donc la rugosité inhibe l'accélération (trivial !).

F. Energie du système :

     On peut constater d'après les résultats de l'expérience 1, que le système a perdu (3,47-2,44)/3,47= 30% de son énergie mécanique initiale alors que d'après nos calculs (voir fichier excel), en négligeant les frottements, l'énergie mécanique est conservée.

      Si il y avait eu conservation de l'énergie mécanique, la vitesse atteinte en bas de la pente aurait étée . En effet, si l'on nomme h la hauteur de la pente, alors on a Ep=mgh ; l'énergie cinétique suit la formule Ec=1/2 mv².
La conservation de l'énergie voudrait que Ec+Ep=constante donc en haut de la pente Ec_i=0 et en bas Ep_f=0 donc  Ec_f=Ep_i    d'où    1/2 mv² = mgh équivaut à v_max = .

G. Distance d'arrêt de la plaque :

      Théorème de l'énergie cinétique :
  Dans un référenciel terrestre galiléen, la variation d'énergie cinétique du mobile entre la position initiale A et la position finale C est égale à la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées.
      A l'état initial et à l'état final on a Ec_A et Ec_B = 0
Ec= W_AC () + W_AC () + W_AC () = 0

      Le travail du poids est moteur donc
W_AC ()= mg(z_A-z_C)= mg x AB x sin
W_AC ()= 0 car la force est normale au sens de déplacement
W_AC ()= W_AB () + W_BC () = . + .
 Or, et sont colinéaires dans un premier temps mais dans un second temps, de B à C, comme le coefficient de frottement et toujours le même alors on a et colinéaires de même sens donc cos(; ) = cos(; ) = 1.
 De plus, le travail de est résistant donc : W_AC ()= -f (AB+BC)

      On a alors : mg x AB x sin -f(AB+BC)= 0
soit BC= (mg x AB x sin )/f - AB

pour =30°, m=125g et f= 0,5 N, on a BC= 23 cm.
pour =45°, m=125g et f= 0,5 N, on a BC= 73 cm.
pour =60°, m=125g et f= 0,5 N, on a BC= 1,1 m.
pour =30° et =45°, il n'y a pas de déplacement.
pour =60°, m=125g et f= 1 N, on a BC= 6,2 cm.

      Résolution graphique pour =45° et =0,4 (lisse) :
on pose la date t=0 lorsque le centre d'inertie du mobile passe en B.
d'après nos mesures, pour cette pente et une distance AB de 1 m, en B, la vitesse du centre d'inertie est 2 m/s. Donc v_i = 2 m/s.
De plus, _ext = ++ = m_G. Cependant, bien que le système soit inchangé, le fait que le coefficient de frottement reste le même sur un sol horizontal donne = m_G. Et par projection sur l'axe Bx parallèle au sol : a_G= -f/m.
Et comme = f/mg (dans ce nouveau repère) alors a_G= -g = -0,4g = -3,9 m/s².
Par intégration et d'après les calculs déjà réalisés, on sait que :
     v_x = a_x t + v_i  =  -3,9t + 2         et        x = 1/2 a t² + v_i t  =  -2t² + 2t

Graphiquement, v= 0 pour t= 0,52s.
Par le calcul : -3,9t+2=0 t=2/3,9 = 0,51s.

Graphiquement, pour t= 0,5s  x= 0,5m.
Par le calcul : x=2t(-t+1) donc pour t=0,5 on a x= 0,5m.
0,5 = 0,7  à 28%  !

H. Modélisation de l'avalanche :

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